本文摘要
現(xiàn)代學(xué)校德育與學(xué)科教學(xué)仍然割裂，道德“外求”造成的學(xué)科德育形式化依舊嚴(yán)峻?！俺橄?、推理、模型”是數(shù)學(xué)三大基本思想的核心，其中內(nèi)生出數(shù)學(xué)學(xué)科德育核心價(jià)值是“求真以至善”，即從抽象中獲得理性的思維，在推理中堅(jiān)毅求真、靈活變通，從而在建模中實(shí)踐善心、善行。當(dāng)下，數(shù)學(xué)學(xué)科德育的基本任務(wù)是讓學(xué)生擯棄個(gè)人主義的方法和動(dòng)機(jī)，真正熱愛數(shù)學(xué)本身及其社會(huì)精神。具體的路徑之一，是在真實(shí)的問題情境中引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)基本能力為起點(diǎn)或媒介，驗(yàn)證科學(xué)知識(shí)與世俗世界的各種真相，形成道德判斷力與決策力，獲得追求真理的毅力、實(shí)踐真理的能力和守護(hù)真理的勇氣。當(dāng)然，數(shù)學(xué)學(xué)科的德育價(jià)值往往是隱性的，需要學(xué)生或自我感悟，或受人啟發(fā)。
現(xiàn)代化轉(zhuǎn)型使得中國的科技發(fā)展天生帶有較強(qiáng)的應(yīng)用目的性，教育也沾染了濃烈的文化訴求，從指向人的存在與發(fā)展，變異為征服、占有世界的工具。轉(zhuǎn)變這樣的局面，需要作出的努力之一，是基于學(xué)科的社會(huì)性質(zhì)，讓學(xué)生接受來自學(xué)科教學(xué)的德育涵養(yǎng)。然而，“各個(gè)學(xué)科知識(shí)內(nèi)部到底蘊(yùn)含哪些德育價(jià)值？不同學(xué)科在學(xué)校德育中到底應(yīng)該起著怎樣的作用？”還未被充分詮釋。
訴諸知性教育與懲罰教育，知識(shí)化教學(xué)和規(guī)范化管理使得現(xiàn)代學(xué)校更多實(shí)現(xiàn)的是對人行為的塑形和控制，人們學(xué)習(xí)或從事數(shù)學(xué)、物理等科學(xué)研究更多是在為個(gè)人的成功創(chuàng)造經(jīng)濟(jì)價(jià)值。對真理的追求、對未知的好奇、以求知為樂趣的自由心態(tài)遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有被充分激活。這勢必造成學(xué)生從個(gè)人主義的方法和動(dòng)機(jī)出發(fā)，更加功利地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理等知識(shí)。人們控訴著考試制度帶來的諸多困擾，卻很少反思自身因何而學(xué)習(xí)奮斗？功利主義正在掣肘人們的創(chuàng)新能力、腐蝕教育的崇高理想。數(shù)學(xué)，這門古老的學(xué)問，如何在工具理性過度盛行的基礎(chǔ)教育階段發(fā)揮它的德育價(jià)值？這是一個(gè)值得深思的問題。
一、學(xué)科教學(xué)與學(xué)校德育
（一）孤獨(dú)的學(xué)校德育
現(xiàn)代學(xué)校德育正面臨著很多挑戰(zhàn)。把價(jià)值標(biāo)準(zhǔn)和道德觀念當(dāng)作“知識(shí)”傳授已經(jīng)無法滿足價(jià)值取向多元化的社會(huì)對學(xué)校德育的期待。價(jià)值多元打破了學(xué)校德育死氣沉沉、照本宣科的蒼白面孔，但同時(shí)也模糊了道德的具體樣貌，使得尚未成年的學(xué)生面對道德觀念盤根錯(cuò)節(jié)的具體事件時(shí)缺乏道德判斷力，更談不上道德敏感性和行動(dòng)力。
在此背景下，全員德育機(jī)制應(yīng)運(yùn)而生，或反對德育“工作化”，主張打破德育與知識(shí)教學(xué)的壁壘，重建全員德育機(jī)制；或主張德育與智育、體育、美育都是教育概念的具體部分，獨(dú)立的德育工作可以防止德育在教育實(shí)踐中被抽象和邊緣化。對“德育與教育關(guān)系到底為何？”的爭論事關(guān)當(dāng)下學(xué)校德育的新建設(shè)，反對德育“工作化”是對德育工作“破而后立”式的改革思考，更多是對制度與觀念的挑戰(zhàn)。但就全員德育，特別是其他學(xué)科教師在學(xué)校德育中承擔(dān)的具體角色還需要更多細(xì)致入微的解讀，否則剝離獨(dú)立的德育工作只會(huì)加劇學(xué)校直接德育（直接以德育為主題的課程、活動(dòng)）低效能而間接德育（不以德育為直接目的的教育活動(dòng)）不作為的現(xiàn)狀。
道德來自行動(dòng)，判斷一個(gè)人是否具備德性，是否接受了好的學(xué)校德育，所依據(jù)的是他在整個(gè)生活中一以貫之的行為特征與道德傾向，即人們需要運(yùn)用德性而后才獲得它們。自然賦予了人們具有德性的潛能，但只有通過不斷地進(jìn)行合乎德性的實(shí)踐才能漸漸養(yǎng)成它。既然行動(dòng)是檢驗(yàn)德性近乎唯一的標(biāo)準(zhǔn)，就對人的認(rèn)知能力提出了基本要求，特別是需要在復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)情境中辨識(shí)利害關(guān)系里的道德要素。增長知識(shí)在于根據(jù)社會(huì)用途處理、利用自然物，也就是應(yīng)用學(xué)科知識(shí)及科學(xué)所特有的收集資料、做出假設(shè)、行動(dòng)檢驗(yàn)的方法促進(jìn)社會(huì)福利。學(xué)校德育主要培養(yǎng)的是認(rèn)識(shí)社會(huì)與認(rèn)識(shí)自我的能力，而個(gè)體對社會(huì)客體的感受包括對他人、對自己和對群體的知覺，雖與對自然客體的認(rèn)知過程相對應(yīng)但又密不可分。試想，如果一個(gè)人不理解數(shù)學(xué)演算、科學(xué)證明、歷史發(fā)展等自然人文學(xué)科知識(shí)，也就不具備思考辨析事物的能力，又如何能作出正義的、善良的道德決策并付諸行動(dòng)呢？最糟糕的事，莫過于淪為道德低下者而不自知、難自省。
（二）只見知識(shí)的學(xué)科教學(xué)
現(xiàn)代考試制度加速了學(xué)科教學(xué)中的知識(shí)學(xué)習(xí)，卻容易丟失學(xué)科的德育價(jià)值，忽視學(xué)生的性格養(yǎng)成?；A(chǔ)教育階段，頂尖學(xué)生往往各類競賽獲獎(jiǎng)無數(shù)，同時(shí)還要諳熟樂器、擅長繪畫，甚至掌握多門外語。這樣或許能夠培育出適應(yīng)社會(huì)變化的專業(yè)技術(shù)人才和商務(wù)精英，但同時(shí)也可能是軟弱無力的文明人或文明的“末人”。事實(shí)上，個(gè)體需求遠(yuǎn)不止在經(jīng)濟(jì)社會(huì)中謀求一席生存之地，為利益發(fā)展貢獻(xiàn)點(diǎn)微末之功這般簡單，人活著除了“求生存”還要“談生活”。
只見知識(shí)及其應(yīng)用的學(xué)科教學(xué)在加劇“無德而富”的道德時(shí)代危機(jī)。出于市場經(jīng)濟(jì)的強(qiáng)大干預(yù)，人們主張“智識(shí)與財(cái)產(chǎn)聯(lián)盟”，學(xué)科教學(xué)的功利化和技術(shù)化趨勢愈演愈烈?！氨M量多的知識(shí)和教育——導(dǎo)致盡量多的生產(chǎn)和消費(fèi)——導(dǎo)致盡量多的幸?！?，這幾乎成了一個(gè)響亮的公式。利益，更確切地說，收入，成為教育的目的和目標(biāo)。這里所要求的即為一種速成教育，以求能夠快速成為一個(gè)掙錢的生物，而所謂的深造教育，就是以求能夠迅速成為一個(gè)掙很多錢的生物。這種強(qiáng)目的性教學(xué)的弊端在學(xué)生踏入成年之后日顯端倪，激烈的競爭讓兒時(shí)夢想——人的本心追求愈加空虛乏力，是否有德也早就不在成人世界是否成功的評判首位。
更糟的是，這種將對塵世幸福的追求等價(jià)于對教育需求的做法，使得那些始終懷著赤子之心，以最純粹的心態(tài)和方式追求知識(shí)真諦的人反而與這個(gè)世界格格不入。似乎任何一種教育，倘若會(huì)使人孤獨(dú)，倘若其目標(biāo)超越了金錢和利益，或者耗時(shí)太多，便是可憎的，人們通常拒斥這些不同的教育趨向。這是不見道德、只見知識(shí)的學(xué)科教學(xué)帶來的個(gè)人的，也是教育的悲劇。
（三）學(xué)校德育與學(xué)科教學(xué)的共生
教育手段服務(wù)于教育目標(biāo)，缺失關(guān)注個(gè)性的德育目標(biāo)必然導(dǎo)向簡單粗暴的教育手段。學(xué)校德育需要回歸生活，借助真實(shí)情境中的經(jīng)驗(yàn)、行為啟發(fā)學(xué)生。根植于學(xué)科教學(xué)的德育能夠豐富學(xué)校德育的手段，并彌補(bǔ)學(xué)校德育目標(biāo)中社會(huì)需求和個(gè)體需求的失衡，讓學(xué)校德育回歸本真。學(xué)科教學(xué)能夠?yàn)閺?fù)雜真實(shí)情境中的高層次德性養(yǎng)成提供理性力量，這點(diǎn)在反思負(fù)面道德經(jīng)驗(yàn)中尤其突出。
當(dāng)然，我國基礎(chǔ)教育階段的課程學(xué)習(xí)緊張，讓學(xué)生親身經(jīng)歷各種正、負(fù)面道德經(jīng)驗(yàn)并不現(xiàn)實(shí)，而學(xué)科的作用就在于將大千世界、古往今來與道德有關(guān)的經(jīng)驗(yàn)展現(xiàn)在學(xué)生面前，讓學(xué)生用理性的思維、共情的能力去反思他人的經(jīng)驗(yàn)。一篇情節(jié)豐滿、人物眾多的文學(xué)作品，一個(gè)跌宕起伏、腥風(fēng)血雨的歷史事件，往往具有更嚴(yán)格意義上的心理的真實(shí)性，從而不脫離學(xué)生的感覺與觀念，哪怕沒有描繪至惡或至善的追求，只是通過一種柔和的，甚至半朦朧的道德節(jié)拍便能使學(xué)生的興趣從邪惡轉(zhuǎn)向善良、公平和正義。學(xué)科教學(xué)與學(xué)校德育的結(jié)合要回歸學(xué)科本質(zhì)，找尋其中的德育價(jià)值。現(xiàn)代學(xué)校發(fā)展學(xué)科德育，并不是要把德育“學(xué)科化”，而是要在以往劃一性的學(xué)校德育力所不及之處下功夫、干細(xì)活。
二、數(shù)學(xué)學(xué)科德育的“內(nèi)生”
數(shù)學(xué)，一個(gè)龐大豐富的知識(shí)體系，具有三個(gè)顯著特征：抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性（也稱精確性）和應(yīng)用性，它們依賴于數(shù)學(xué)基本思想的三個(gè)核心要素：“抽象、推理、模型”。對數(shù)學(xué)基本思想和特征的理解與認(rèn)識(shí)直接影響到數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值，進(jìn)而干預(yù)教學(xué)行為和教學(xué)結(jié)果。實(shí)質(zhì)上，當(dāng)一門學(xué)科作為理解社會(huì)生活的方式而被學(xué)習(xí)時(shí)，它便具有積極的倫理意義。杜威認(rèn)為，數(shù)學(xué)能否實(shí)現(xiàn)其全部目的，取決于它是否被表現(xiàn)為一種社會(huì)工具。那么，數(shù)學(xué)學(xué)科的基本思想及特征如何影響人的社會(huì)性，豐富擴(kuò)展人的社會(huì)想象和概念習(xí)慣的養(yǎng)成？對這個(gè)問題的探索能夠建立數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)校德育之間合理的聯(lián)系。
（一）抽象：走向理性的“起點(diǎn)”
抽象是從現(xiàn)實(shí)進(jìn)入數(shù)學(xué)的過程。抽象的東西是存在的，但不同于現(xiàn)實(shí)的存在，而是存在于人們的大腦之中并取得普遍共識(shí)的東西。阿爾伯特·愛因斯坦認(rèn)為，“實(shí)在”絕不是直接給予人們的。給予人們的只不過是知覺材料，而其中只有那些容許用無歧義的語言來表述的材料方能構(gòu)成科學(xué)的原料。從知覺材料到達(dá)“實(shí)在”、到達(dá)理智，只有一條途徑，那就是有意識(shí)或無意識(shí)的理智構(gòu)造的途徑。數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象為人們觀察世界提供了一種數(shù)學(xué)的眼光，是指向理性思維的起點(diǎn)。人們在反思經(jīng)驗(yàn)、實(shí)踐道德的過程中，通過概念抽象得到事物的本質(zhì)及特點(diǎn)，通過方法抽象獲取事物發(fā)展變化的規(guī)律，從而對事物由感性經(jīng)驗(yàn)上升到理性認(rèn)識(shí)，形成獨(dú)立思考的能力。
1.數(shù)學(xué)概念的抽象
數(shù)學(xué)的抽象性體現(xiàn)在很多方面，其中數(shù)學(xué)概念的抽象是基礎(chǔ)，只保留數(shù)量關(guān)系和空間形式而舍棄其他的一切。復(fù)雜數(shù)學(xué)概念的抽象需要經(jīng)過一系列剝離“雜質(zhì)”的階段，雖然能否很好地理解抽象的數(shù)學(xué)概念因人而異，但是抽象地認(rèn)識(shí)、理解事物的思維卻是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的那一刻起就在培養(yǎng)的。人們想要建造富麗堂皇的高樓大廈，就必須在一開始用平面代替墻面，用幾何體代替鋼筋，用角度代替屋脊。
概念抽象是人們簡化事物、抓住事物本質(zhì)特征的途徑，不具備基本抽象能力的人很容易被浮華的表象迷惑。例如賭博，即便天才數(shù)學(xué)家愛德華·索普和信息學(xué)之父克勞德·艾爾伍德·香農(nóng)等人，利用凱利公式等復(fù)雜計(jì)算和數(shù)學(xué)理論對21點(diǎn)游戲中每次下注的多少進(jìn)行量化計(jì)算，也只能小幅提高個(gè)別賭博游戲的贏率，況且這在實(shí)戰(zhàn)中還需要依靠強(qiáng)大的頭腦算牌?？梢?，金錢游戲的背后是人們無法與之抗衡的數(shù)學(xué)公式，認(rèn)識(shí)到這點(diǎn)才能不為貪念所動(dòng)。和文學(xué)、歷史故事不同，數(shù)學(xué)無法用最直白的話語和結(jié)局告訴人們該做什么，不該做什么，而是默默地躲在事情背后，等著人們用抽象的思維去揭示、去認(rèn)識(shí)她，可在這之后呢？她還是默默無言，選擇權(quán)依舊在人們自己手中，她可以為嗜賭成性的青年打開一扇光明之窗，也可以為牟取暴利的商人打開一道黑暗之門。也就是說，數(shù)學(xué)抽象能夠提升人們理解事物本質(zhì)的判斷力，但很難左右人們理解事物之后的行為。因而，站在這樣的角度，數(shù)學(xué)學(xué)科的德育價(jià)值往往是隱性的，并不天然帶有明確的導(dǎo)向性。
2.數(shù)學(xué)方法的抽象
數(shù)學(xué)方法的抽象是數(shù)學(xué)抽象的另一個(gè)重要方面，屬于數(shù)學(xué)內(nèi)部的抽象。雖然有時(shí)數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)也會(huì)借助于模型或自然現(xiàn)象，但只有能在邏輯推理層面被嚴(yán)格證明的定理才能在數(shù)學(xué)世界中真正站穩(wěn)腳跟。任何人都可以極其精確地測量成千上萬個(gè)直角三角形的三邊，并通過計(jì)算歸納得出勾股定理，但勾股定理的數(shù)百種證明方法中絕對找不到這樣的做法。因?yàn)?，?shù)學(xué)定理的證明需要從定理涉及的那些概念所固有的性質(zhì)出發(fā)去推導(dǎo)。
生活中，數(shù)學(xué)方法的抽象性能夠?qū)θ藗兎治鍪挛锂a(chǎn)生潛移默化的積極影響，特別是拋開個(gè)人的主觀預(yù)設(shè)、迷信權(quán)威等不那么理智的感性因素。歷史上，無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)是人類的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，也是一次個(gè)體思想與群體理念的博弈。古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派信奉“萬物皆數(shù)”，認(rèn)為宇宙間的一切想象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比，但也正是這個(gè)學(xué)派給出了2與1不能公度的證明。后人把不可公度比的發(fā)現(xiàn)歸功于希帕索斯，相傳他因此打破學(xué)派信條而被扔入大海。如果傳言是真的，不難想象希帕索斯探索發(fā)現(xiàn)、交流傳播無理數(shù)時(shí)需要克服的緊張與恐懼。不過，此次數(shù)學(xué)危機(jī)使得幾何學(xué)在古希臘數(shù)學(xué)中獲取了崇高地位，人們開始從自明的公理出發(fā)，經(jīng)過演繹推理建立幾何學(xué)體系。
在科技發(fā)展逐漸失控、即便“在線直播”都可以造假的今天，社會(huì)輿論紛亂復(fù)雜。保持客觀冷靜，用抽象的理性思維觀察事情的真實(shí)性，從而做出合乎情理的情感、行為反饋顯得格外重要。培養(yǎng)學(xué)生的良性價(jià)值觀不能僅用知識(shí)填充，學(xué)生對生活、社會(huì)中大小事件的感知、思考、判斷、反應(yīng)才是積累并形成個(gè)體價(jià)值觀的最直接養(yǎng)料。誠然，生活中關(guān)乎道德的事件、關(guān)乎道德的判斷不一定需要用到具體的數(shù)學(xué)方法，但是往往需要人們剔除不理智、非合理的各種因素，理性觀察、思考事件發(fā)展背后的緣起動(dòng)因、復(fù)雜關(guān)系、結(jié)局影響，這是數(shù)學(xué)之所以能觸及德育實(shí)踐的精髓所在。抽象作為理性思維的出發(fā)點(diǎn)，維系著人們看待世界、現(xiàn)實(shí)，理解“真、善、美”的基本態(tài)度，進(jìn)而幫助人們合理定位正確的價(jià)值立場。
（二）推理：堅(jiān)毅求真與靈活變通的過程
推理更多關(guān)注數(shù)學(xué)自身的發(fā)展，賦予數(shù)學(xué)學(xué)科以嚴(yán)謹(jǐn)性，人們在數(shù)學(xué)推理中感知、堅(jiān)定追求知識(shí)、真理的信念和毅力，同時(shí)在數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的變化發(fā)展中獲得與時(shí)俱進(jìn)的變通力。這里的求真，即追求真理，學(xué)做真人。教育家陶行知曾言：“千教萬教，教人求真；千學(xué)萬學(xué)，學(xué)做真人?！睋Q言之，教師最根本的教學(xué)目標(biāo)在于教導(dǎo)學(xué)生追求真理，學(xué)生最根本的學(xué)習(xí)目標(biāo)在于學(xué)習(xí)做個(gè)真誠的人。崇尚科學(xué)，追求真知，成為具有真才實(shí)學(xué)的人是個(gè)體學(xué)習(xí)從自私的吸收轉(zhuǎn)變到社會(huì)性服務(wù)的基礎(chǔ)。
數(shù)學(xué)推理是把表示關(guān)系的運(yùn)算方法、邏輯術(shù)語運(yùn)用于研究對象，得到數(shù)學(xué)結(jié)論（命題）或者驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論的思維過程?！赌?jīng)·小取》中“以名舉實(shí)，以辭抒意，以說出故”這段話闡述了定義、命題、推理之間的關(guān)系，其中“以說出故”是指命題所表述的東西不一定正確，其中的道理（故）是需要論證（說）的。推理支撐著數(shù)學(xué)的另一個(gè)特征——嚴(yán)謹(jǐn)性。數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性，顧名思義，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)結(jié)論的強(qiáng)邏輯性、準(zhǔn)確性以及數(shù)學(xué)推理過程的無可爭辯。數(shù)學(xué)幾乎完全周旋于抽象概念和它們相互聯(lián)系的圈層之中，因此從中推導(dǎo)得出的結(jié)論至少在人類認(rèn)知發(fā)展的短時(shí)間內(nèi)是絕對可信的。
如果說數(shù)學(xué)抽象是分析事物、理性思考的起點(diǎn)，那么數(shù)學(xué)推理則為人們的道德實(shí)踐提供堅(jiān)強(qiáng)的信念和毅力支撐。因?yàn)椋瑪?shù)學(xué)是無法說謊欺騙的，在她的領(lǐng)域里任何自大和狡辯都無法冒充智者，用站不住腳的論證冒充完善的證明。數(shù)學(xué)無法被扭曲，因?yàn)槿魏螌W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人都有平等的資格去審判數(shù)學(xué)中的錯(cuò)誤，只要能拿出有力的邏輯證明。同樣，所有人也都有平等的機(jī)會(huì)從事數(shù)學(xué)領(lǐng)域的工作，其成就也只與數(shù)學(xué)有關(guān)。
數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性往往先影響人的精神世界，進(jìn)而影響人的工作生活。2013年，數(shù)學(xué)家張益唐發(fā)表論文《數(shù)學(xué)間的有界距離》轟動(dòng)了學(xué)術(shù)界。早年的他曾一度脫離學(xué)術(shù)遭受精神排擠和物質(zhì)壓迫，但這都沒能動(dòng)搖他的數(shù)學(xué)精神世界——“孿生素?cái)?shù)猜想”的獨(dú)立研究。他坦言：“與外界保持適當(dāng)?shù)木嚯x能夠讓我遠(yuǎn)離世故和誘惑，讓我能對生活保持最初的敏感和熱情”。正是出于數(shù)學(xué)的純粹熱誠、不求名利、甘于隱逸，造就了這位新一代的大師級學(xué)者。數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性告訴我們，做人如做學(xué)問，咬定青山不放松，才能經(jīng)受時(shí)代的考驗(yàn)，不斷在積淀中萌發(fā)新芽，始得常青。
數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性在引導(dǎo)人們堅(jiān)定求真信念的同時(shí)，也警醒人們堅(jiān)定信念不是保守固執(zhí)，由矛盾引向問題從而走向新的生命才是正途。數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性并不意味著結(jié)論的固守僵化，相反，與時(shí)代同頻共振才能保持其嚴(yán)謹(jǐn)性。數(shù)學(xué)永遠(yuǎn)是變化發(fā)展著的，有些數(shù)學(xué)結(jié)論可能甚至已經(jīng)成為學(xué)術(shù)界爭論的對象。1899年，第二次國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，數(shù)學(xué)家戴維·希爾伯特在展望新世紀(jì)數(shù)學(xué)的未來發(fā)展時(shí)說：“只要一門科學(xué)分支充滿著大量問題，它就充滿生命力。缺少問題則意味著死亡或者獨(dú)立發(fā)展的終止。”由矛盾引向問題再走向新的生命，數(shù)學(xué)中非歐幾何的創(chuàng)立是個(gè)絕佳案例。非歐幾何始于對歐式幾何平行公理的懷疑，在那之前，人們一直堅(jiān)信歐式幾何是物理空間的正確理想化，為了完善它，數(shù)學(xué)家們或試圖用更加自明的公理代替平行公理，或試圖用其他9個(gè)公理推導(dǎo)出平行公理。直到18世紀(jì)中后期，人們才逐漸意識(shí)到平行公理不可證明，亦和其他公理不相依賴。經(jīng)歷幾代數(shù)學(xué)家的努力，非歐幾何才終于誕生。非歐幾何的誕生是人們用純粹智力掙脫出經(jīng)驗(yàn)依賴的典型，并借此打通對物質(zhì)空間的新認(rèn)識(shí)。
生活中人或事物發(fā)生發(fā)展的過程也注定會(huì)產(chǎn)生矛盾，如何面對自我的內(nèi)在矛盾以及與他人、社會(huì)的外在矛盾是每個(gè)個(gè)體的必修課。面對各種矛盾，總是抱著“非黑即白”“非此即彼”的思維認(rèn)知往往只會(huì)離真相越來越遠(yuǎn)，人也會(huì)漸漸失去格局。從矛盾中發(fā)現(xiàn)問題才有價(jià)值，嘗試從新視角，用新方法解釋、解決問題才是關(guān)鍵。數(shù)學(xué)推理能夠啟發(fā)人們在矛盾中發(fā)現(xiàn)問題、尋找聯(lián)系，以新角度理解、化解矛盾，從而達(dá)到整體的新平衡，即內(nèi)心平靜與外在和諧，所謂“天人合一”。
（三）模型：實(shí)踐“善”的途徑
模型賦予數(shù)學(xué)學(xué)科以應(yīng)用性，讓數(shù)學(xué)能夠直接作用于有道德的實(shí)踐行動(dòng)，是數(shù)學(xué)實(shí)踐善心、善行的重要途徑。應(yīng)用性讓數(shù)學(xué)更富親和力，增進(jìn)人們對數(shù)學(xué)的仰慕敬重與熱愛向往的同時(shí)，提升人們有效運(yùn)用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實(shí)問題，特別是道德問題的自覺性和行動(dòng)力。
數(shù)學(xué)廣泛應(yīng)用于其他學(xué)科、各項(xiàng)技術(shù)和生活實(shí)踐中。盡管數(shù)學(xué)概念和結(jié)論極為抽象，但需要堅(jiān)信的是，數(shù)學(xué)是從現(xiàn)實(shí)中來的，絕不是純粹思維的產(chǎn)物。生活中，人們無意識(shí)地大量運(yùn)用著最普通的數(shù)學(xué)概念和結(jié)論，例如計(jì)算家庭開支、住宅面積。計(jì)數(shù)與進(jìn)位是個(gè)體從小就習(xí)得的知識(shí)，沒有它，現(xiàn)今金融行業(yè)或科學(xué)實(shí)驗(yàn)中的高精度運(yùn)算也就無法進(jìn)行，發(fā)達(dá)的文明社會(huì)也不會(huì)存在。天文學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)等都是以公式表述定律，幾乎所有科學(xué)的理論發(fā)展都實(shí)質(zhì)地利用著數(shù)學(xué)，可以說離開數(shù)學(xué)，任何技術(shù)的改進(jìn)都將舉步維艱。
數(shù)學(xué)應(yīng)用性吸引著很多社會(huì)英才投身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究工作，使得數(shù)學(xué)能夠在重大社會(huì)事件中貢獻(xiàn)力量。新冠疫情暴發(fā)以來，疫情的動(dòng)態(tài)發(fā)展一直關(guān)系國計(jì)民生、人類福祉。中國的研究團(tuán)隊(duì)在既有區(qū)域疫情預(yù)測模型的基礎(chǔ)上，考慮氣候和環(huán)境條件以及政府管控措施對疫情傳播的影響，將氣候預(yù)測中的統(tǒng)計(jì)——?jiǎng)恿Ψ椒ㄅc流行病學(xué)相結(jié)合，開發(fā)出《全球COVID-19疫情預(yù)報(bào)系統(tǒng)》，經(jīng)過多次檢驗(yàn)，模型預(yù)測結(jié)果十分可靠。全球各地大大小小無數(shù)研究團(tuán)隊(duì)也都在自己的專業(yè)內(nèi)努力，數(shù)學(xué)亦在最大程度上、最直接地發(fā)揮著其應(yīng)盡的作用。社會(huì)事件往往關(guān)乎生死，“求真者亦當(dāng)守真言真”是數(shù)學(xué)研究者、數(shù)學(xué)教育者最為自豪的事情。
數(shù)學(xué)應(yīng)用性的德育價(jià)值并不一定只有與復(fù)雜現(xiàn)象結(jié)合時(shí)才能彰顯，也不是只有專業(yè)的數(shù)學(xué)研究工作者才能服務(wù)反饋社會(huì)，基礎(chǔ)教育階段同樣適合開展針對社會(huì)問題、道德實(shí)踐的數(shù)學(xué)應(yīng)用探究，如數(shù)學(xué)建模教學(xué)。上海市新編高中數(shù)學(xué)教材包含了數(shù)學(xué)建模內(nèi)容，其中就不乏從生活問題延伸至道德實(shí)踐的數(shù)學(xué)探討，具體教學(xué)案例包括：“車輛轉(zhuǎn)彎時(shí)的安全隱患”“出租車運(yùn)價(jià)”“外賣與環(huán)保”等。數(shù)學(xué)建模能力是“能夠在給出的現(xiàn)實(shí)世界中識(shí)別問題、變量或者提出假設(shè)，然后將它們翻譯成數(shù)學(xué)問題加以解決，緊接著聯(lián)系現(xiàn)實(shí)問題解釋和檢驗(yàn)數(shù)學(xué)問題解答的有效性?！苯?jīng)歷數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，學(xué)生除了在數(shù)學(xué)及其應(yīng)用方面收獲頗豐，對“規(guī)則”“公平”“環(huán)?！钡鹊掠婕暗母拍钫J(rèn)識(shí)也會(huì)發(fā)生質(zhì)的改變，甚至還可能真正為社會(huì)發(fā)展獻(xiàn)計(jì)獻(xiàn)策，這是數(shù)學(xué)應(yīng)用性在基礎(chǔ)教育階段的德育價(jià)值體現(xiàn)，也是數(shù)學(xué)學(xué)科“立德樹人”最為真實(shí)有效的途徑。
數(shù)學(xué)的本質(zhì)是從現(xiàn)實(shí)中來到現(xiàn)實(shí)中去，因此無法徹底割裂與人、與道德實(shí)踐的聯(lián)系。數(shù)學(xué)是實(shí)際需求的產(chǎn)物，是從計(jì)算時(shí)間、丈量面積、買賣交易等現(xiàn)實(shí)中來的。實(shí)際上，當(dāng)數(shù)學(xué)從具體的事物上升為抽象的存在時(shí)，它并不是離開了現(xiàn)實(shí)，如果它是正確的，即便無法論之為真理，也是在接近真理。物質(zhì)的抽象，自然規(guī)律的抽象、價(jià)值的抽象及其他等等一切科學(xué)莊重的抽象，都更深刻、更正確、更完全地反映著自然。從生動(dòng)的直觀到抽象的思維，再從抽象的思維到具象的實(shí)踐，這是認(rèn)識(shí)真理，認(rèn)識(shí)客觀實(shí)在的辯證途徑，也是數(shù)學(xué)的本質(zhì)。
數(shù)學(xué)“從現(xiàn)實(shí)中來到現(xiàn)實(shí)中去”的本質(zhì)是激發(fā)學(xué)生社會(huì)精神的一劑良藥。實(shí)質(zhì)上，兒童天生就期望有所貢獻(xiàn)、行動(dòng)和服務(wù)。當(dāng)這種傾向沒有被利用，以至于被其他個(gè)人動(dòng)機(jī)取而代之時(shí)，一種積累起來的不利于社會(huì)精神的影響遠(yuǎn)非人們的想象所能及。而通過類似建模的活動(dòng)，學(xué)生能夠更加近距離地真切體會(huì)數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)意義和應(yīng)用價(jià)值，教學(xué)也得以緩解知識(shí)與道德、知識(shí)與社會(huì)行動(dòng)普遍脫節(jié)的現(xiàn)狀。更重要的是，借助數(shù)學(xué)的應(yīng)用性可以引導(dǎo)學(xué)生擺脫學(xué)習(xí)時(shí)自私的個(gè)人主義動(dòng)機(jī)，包括對未來遙遠(yuǎn)成功的期待，專注于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究本身的樂趣及社會(huì)意義。
三、適應(yīng)時(shí)代的數(shù)學(xué)學(xué)科德育展望
如何開展學(xué)科德育，是現(xiàn)代學(xué)校課程“立德樹人”的重要議題。數(shù)學(xué)學(xué)科德育目前普遍存在兩種樣態(tài)，并且不容樂觀。一種教學(xué)觀認(rèn)為“學(xué)校德育不是數(shù)學(xué)學(xué)科所能觸及的”，因此數(shù)學(xué)無法也沒有必要涉及德育內(nèi)容。另一種觀點(diǎn)則是道德“外求”思路，把學(xué)科德育理解成“在學(xué)科教學(xué)中將主流意識(shí)形態(tài)和價(jià)值觀以及道德規(guī)范傳遞給學(xué)生”，因此在教學(xué)中尋找、挖掘或費(fèi)力創(chuàng)造德育資源和條件，結(jié)果普遍產(chǎn)生臨時(shí)性、隨機(jī)性、形式化的學(xué)科德育。
數(shù)學(xué)作為人類文明史上最為獨(dú)特的文化之一，既具有非凡的科學(xué)價(jià)值，又蘊(yùn)藏不可替代的人文價(jià)值。數(shù)學(xué)不應(yīng)該成為科技金融的敲門磚，基礎(chǔ)及高等數(shù)學(xué)教育嘗試擺脫個(gè)人功利主義的泥潭才是當(dāng)務(wù)之急。當(dāng)下，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、研究越來越遠(yuǎn)離數(shù)學(xué)本身的理性精神和智慧，越來越忽視其人文意蘊(yùn)和價(jià)值，人們的數(shù)學(xué)觀也逐漸趨向技術(shù)主義、工具主義，“選擇數(shù)學(xué)專業(yè)吧，以后從事金融行業(yè)能掙錢！”很多家長對填報(bào)志愿時(shí)一臉迷茫的孩子如是說。丘成桐先生曾于第八屆世界華人數(shù)學(xué)家大會(huì)上鼓勵(lì)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究，“發(fā)展像數(shù)學(xué)這樣的基礎(chǔ)科學(xué)，目的并非直接為經(jīng)濟(jì)和技術(shù)服務(wù)。對做基礎(chǔ)研究的科學(xué)家來講，他們感興趣的是自然現(xiàn)象，想理解的是自然規(guī)律?！比绻袛?shù)學(xué)教育工作者都意識(shí)到當(dāng)下學(xué)科及學(xué)科教育的不健康發(fā)展，就一定會(huì)重視數(shù)學(xué)學(xué)科德育的內(nèi)生要求。
相反，數(shù)學(xué)學(xué)科德育“外求”的思路太過夸大求全，這種過度用力其實(shí)也是學(xué)科德育迷茫的一種表現(xiàn)。學(xué)科德育通常以間接德育的形態(tài)呈現(xiàn)，間接德育要注意保持“潤物細(xì)無聲”的間接性特點(diǎn)。教師在學(xué)科教學(xué)中因勢利導(dǎo)、恰到好處地開展德育是值得肯定的，但過多和勉強(qiáng)地德育不僅影響課程本身直接目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，也可能使教學(xué)出現(xiàn)過度“德育化”的傾向，這種思路并不可取。數(shù)學(xué)史、高級科普、趣味數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)哲學(xué)之類可以作為數(shù)學(xué)學(xué)科德育的輔助形式，但將其簡單地等同于數(shù)學(xué)文化或?qū)W科德育的全部形式并填補(bǔ)于每一節(jié)數(shù)學(xué)課中，則會(huì)沖淡數(shù)學(xué)的精神實(shí)質(zhì)和思想方法，在枝節(jié)內(nèi)容和問題上用放大鏡拼命挖掘“微言大義”得不償失。可見，關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)科德育的內(nèi)涵及教學(xué)研究還有很大空間，要破除數(shù)學(xué)教學(xué)與德育之間的隔膜，思維不能保守，論證更需有力。就當(dāng)下來說，數(shù)學(xué)學(xué)科德育背后的種種理論假設(shè)并非自明，人們應(yīng)該清醒地認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)學(xué)科德育的限度，合理調(diào)節(jié)其期望?；蚩蓮囊韵聨c(diǎn)思考如何開展有效的數(shù)學(xué)學(xué)科德育以契合時(shí)代需求。
（一）推進(jìn)適應(yīng)時(shí)代的數(shù)學(xué)學(xué)科德育，需要思考當(dāng)下什么數(shù)學(xué)值得教、必須教的問題
數(shù)學(xué)教學(xué)的改革走向很多時(shí)候并不在于糾結(jié)什么是最好的教學(xué)方式，而是在于數(shù)學(xué)在那個(gè)時(shí)代背景下到底是什么，不正視數(shù)學(xué)的本質(zhì)問題，解決不了關(guān)于教育上的根本爭議。數(shù)學(xué)應(yīng)用性表明抓住當(dāng)今在人類認(rèn)識(shí)與改造世界中起著關(guān)鍵性、甚至決定性作用的數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容，學(xué)生才能舉一反三，觸類旁通。同樣，數(shù)學(xué)學(xué)科德育也只有在這樣的知識(shí)領(lǐng)域才能獲得寬闊的發(fā)展空間。知識(shí)在網(wǎng)絡(luò)的易得性極大地改變了人們所要學(xué)習(xí)和掌握的科學(xué)內(nèi)容，計(jì)算機(jī)也為人們提供了新的方法表征有關(guān)世界的知識(shí)。當(dāng)可以依靠外部機(jī)械儲(chǔ)存知識(shí)時(shí)，記憶就不再是學(xué)習(xí)的基本技能，如何進(jìn)行調(diào)查、分析數(shù)據(jù)、科學(xué)推理變得更加重要。現(xiàn)代學(xué)校面臨的挑戰(zhàn)是將教學(xué)重點(diǎn)從記住科學(xué)事實(shí)轉(zhuǎn)向用數(shù)學(xué)和科學(xué)方法調(diào)查有意義的問題。一些知識(shí)對處理當(dāng)下的真實(shí)問題，特別是涉及社會(huì)、道德因素的問題，格外有價(jià)值。比如統(tǒng)計(jì)學(xué)，均值、中位數(shù)和眾數(shù)是三種常見的數(shù)值型參數(shù)，了解它們的含義及差異能夠幫助人們更好地認(rèn)識(shí)事物的真相。試想一下，某公司通過提升管理層人員的薪水拉高薪資的平均值，以此聲稱公司待遇的改善，但了解數(shù)據(jù)的人知道偏態(tài)分布時(shí)的平均值不能代表多數(shù)員工的薪資，中位數(shù)才是更好的選擇。
（二）真實(shí)的情境決定有用的知識(shí)，挑選知識(shí)是為了更好地解決最真實(shí)的問題
數(shù)學(xué)學(xué)科德育的具體做法講求精細(xì)，途徑之一就是在最真實(shí)的情境下讓學(xué)生探究、討論有關(guān)道德的話題。這需要教師在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)探究的不同階段引導(dǎo)學(xué)生以基本的數(shù)學(xué)能力為起點(diǎn)或媒介，驗(yàn)證科學(xué)知識(shí)與世俗世界的各種真相，形成道德判斷力與決策力，培養(yǎng)追求真理的毅力與守護(hù)真理的勇氣。
數(shù)學(xué)學(xué)科德育議題的探究是一個(gè)理論和證據(jù)互相博弈的過程，學(xué)生需要學(xué)會(huì)尋找正確的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)去表明、解釋、證明、維護(hù)自己在具體道德事件中的觀點(diǎn)和立場。情境教學(xué)注重學(xué)生面對現(xiàn)實(shí)問題的理解、判斷、反思與解決，注重師生間的平等對話，更加關(guān)注學(xué)科知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用和在個(gè)體道德實(shí)踐方面的價(jià)值體現(xiàn)。從更深層次看，每門學(xué)科還應(yīng)該為學(xué)生認(rèn)識(shí)、闡述、感受、體悟、改變周遭世界并實(shí)現(xiàn)自己的意愿，提供一種唯有在這個(gè)學(xué)科的學(xué)習(xí)中才可以獲得的經(jīng)歷和體驗(yàn)。教師的“德能”包涵兩種基本能力，一是“道德能力”，是指個(gè)體選擇道德價(jià)值、實(shí)踐道德價(jià)值的能力；二是德育能力，也就是應(yīng)對教學(xué)中道德倫理問題的基本能力，包括敏銳察覺道德問題的能力、善于道德推理與引領(lǐng)的能力，以及對不同道德觀點(diǎn)寬容與信任的能力。對于數(shù)學(xué)教師而言，數(shù)學(xué)建模、項(xiàng)目化學(xué)習(xí)、STEM、基于問題的學(xué)習(xí)等都是可以設(shè)計(jì)富含道德因素的問題情境的教學(xué)方式。這些方式能夠讓學(xué)生經(jīng)歷具體的發(fā)現(xiàn)提出問題、探究解決問題、交流討論問題的過程，去理解政治決策中的觀點(diǎn)、社會(huì)運(yùn)作的規(guī)律、公平正義的內(nèi)涵等。
復(fù)雜事件涉及的德育因素很多，利用不同的數(shù)學(xué)知識(shí)、模型、結(jié)構(gòu)也許會(huì)得到不同乃至相反的結(jié)論，基于數(shù)學(xué)證據(jù)的相互反駁往往是道德議題討論的高潮，也是數(shù)學(xué)學(xué)科德育追求的理想樣態(tài)——一種類似希臘數(shù)學(xué)的自由學(xué)術(shù)典范。立足真實(shí)情境的數(shù)學(xué)學(xué)科德育不在于彰顯數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，不在于用德育議題襯托數(shù)學(xué)，而是關(guān)乎數(shù)學(xué)“力捧”道德的事情。學(xué)科德育不是給學(xué)科披上德育的“袈裟”讓學(xué)科更加閃耀，而理應(yīng)是用學(xué)科點(diǎn)綴德育，為學(xué)校德育“做嫁衣”。數(shù)學(xué)學(xué)科德育不是僅僅告訴世人數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)涉及道德的事和人，更主要的是，用數(shù)學(xué)培育有道德的人做有道德的事。全球化帶來的“價(jià)值多元”很容易導(dǎo)致一種價(jià)值困惑，甚至價(jià)值亂象，不加限制地批判精神正在削弱社會(huì)中有限留存的價(jià)值理想和信念，數(shù)學(xué)和理性比任何時(shí)刻都迫切地需要站出來守衛(wèi)信仰、保護(hù)德行。
(三)破除學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的功利心，讓學(xué)生真正熱愛數(shù)學(xué)本身及其社會(huì)精神是當(dāng)下數(shù)學(xué)學(xué)科德育的首要任務(wù)
教學(xué)更應(yīng)該注重日常課程中學(xué)生的主動(dòng)參與，讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻體驗(yàn)、理解、建構(gòu)與應(yīng)用，借助數(shù)學(xué)的3個(gè)基本思維和特征，引導(dǎo)學(xué)生思維向情境中的倫理問題延伸，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)與道德的聯(lián)結(jié)?；A(chǔ)數(shù)學(xué)教育不是職業(yè)培訓(xùn)，也不是培養(yǎng)數(shù)學(xué)家、科學(xué)家的精英教育。數(shù)學(xué)作為探索真理的事業(yè)，最能培養(yǎng)一種獨(dú)特的人格氣質(zhì)，一種精神力量——尊重事實(shí)，包括實(shí)事求是的精神，勇于堅(jiān)持真理、勇于懷疑、自我否定的批判精神和勇于創(chuàng)新、為真理而獻(xiàn)身的科學(xué)精神。當(dāng)下，數(shù)學(xué)的發(fā)展同數(shù)學(xué)教育的發(fā)展一樣，需要保持一顆超越功利的心，才能進(jìn)入創(chuàng)造的狀態(tài)。數(shù)學(xué)研究只有關(guān)注真理的自主自足和內(nèi)在推演，才能打破外在的約束，開拓出新的東西，數(shù)學(xué)教學(xué)也唯有立足于此，才能真正根植于人性追求真理的自由，有了自由發(fā)展的個(gè)性和空間，真正熱愛數(shù)學(xué)，人性方可能有德地使用價(jià)值無涉的知識(shí)。當(dāng)然，數(shù)學(xué)這門古樸、純粹的知識(shí)，如何作為學(xué)校德育的要素在教學(xué)中發(fā)揮價(jià)值，仍然是一處茫茫未知、似有可期的遠(yuǎn)方，需要數(shù)學(xué)教育“生態(tài)圈”的共同努力。
（本文編輯：趙志紅）
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